#5 – Pourquoi représenter l’hétérogénéité des individus infectés dans le modèle ? (1/2)

Nous avons vu qu’il était souvent difficile de déterminer les valeurs des paramètres du modèle. Pourtant, nombres de modèles mobilisés pendant la crise de la COVID19 (ainsi d’ailleurs que pour d’autres systèmes épidémiologiques) représentent assez finement l’hétérogénéité des individus infectés, augmentant alors la complexité du modèle.

Prenons l’exemple suivant : au lieu des deux états A et I considérés dans les articles précédents (article #1), ajoutons maintenant une phase de latence E et une phase d’incubation E+I_p. Les individus E sont infectés, mais ne sont pas encore excréteurs et n’ont pas de symptômes. Quant aux individus I_p, ils commencent à excréter avant l’apparition possible de symptômes. Nous conservons la distinction entre les individus a- ou pauci-symptomatiques (I_a) et les individus symptomatiques (I_s), ces derniers étant les seuls à risque de mourir de l’infection.

Ce modèle épidémiologique considérant 7 états : sensibles (S), infectés latents non excréteurs (E), infectés excréteurs en incubation (sans symptôme, I_p), infectés excréteurs a- ou pauci-symptomatiques (I_a), infectés excréteurs symptomatiques (I_s), guéris (R), et morts (M). La force d’infection (λ) tient compte des contributions différentes des individus excréteurs (I_p, I_a, I_s) aux nouvelles infections.

Ce modèle a forcément plus de paramètres (9 au lieu de 6 paramètres précédemment) et plus d’états (7 au lieu de 5). Il est donc plus compliqué (on dit aussi qu’il est moins parcimonieux). Souvent, des hypothèses supplémentaires permettent de réduire la complexité pour la rendre plus pertinente au regard des connaissances disponibles. Par exemple, on peut supposer que les individus excréteurs sans symptômes (I_p et I_a) ont les mêmes niveaux d’excrétion (donc β_p = β_a) en l’absence de plus d’information.

Mais pourquoi complexifier le modèle ? Deux éléments l’expliquent d’un point de vue méthodologique :

• La contribution des individus infectés aux nouveaux cas peut différer selon l’avancée de l’infection, ce qui est difficile à prendre en compte sans distinguer ces stades. Par exemple, en début d’infection (stade E), les individus ne sont plus sensibles (donc ne peuvent plus s’infecter) mais n’excrètent pas encore (donc ne contribuent pas aux nouveaux cas) ce qui va induire un délai dans le démarrage de l’épidémie.
• Les modèles à compartiments de type markovien (sans mémoire) font l’hypothèse d’une distribution exponentielle du temps de séjour dans les compartiments, ce qui n’est pas très réaliste (article #1). Pour y remédier, il faudrait en toute rigueur changer le formalisme mathématique sous-jacent (modèles à délai). Une alternative pour réduire l’impact de cette hypothèse est de considérer plusieurs sous-états successifs, car une somme de durées suivant des distributions exponentielles converge assez rapidement vers une durée quasi constante.

Quelle est la conséquence du changement de structure du modèle sur les prédictions ?

Comparons par exemple le modèle décrit dans la figure ci-dessus (courbe en noir ci-dessous), considérant explicitement une phase de latence sans excrétion (E) suivie d’une phase d’excrétion pré-symptomatique (I_p), avec un modèle intégrant E et I_p en une seule phase I_p2 qui représente alors toute la durée d’incubation (courbe en rouge). Actualisons les paramètres relatifs à I_p2 pour que les deux modèles soient comparables. La durée dans I_p2 devient : d_p2 = d_p1 + d_E, avec d_p1 = 1/γ_p et d_E = 1/ε. Le taux de transmission intègre que l’excrétion des E est nulle pendant d_E : β_p2 = (β_p1d_p1) / (d_E + d_p1).

Prédiction des modèles incluant explicitement (en noir) la phase de latence (E) ou non (en rouge) : l’épidémie prédite par le modèle rouge démarre plus vite que celle prédite par le modèle noir, alors que les paramètres sont comparables.

On voit nettement l’effet retardateur de la phase de latence sur la dynamique épidémique. Il est donc essentiel de disposer autant que faire se peut de connaissances biologiques précises sur le déroulement de l’infection au sein de l’hôte pour savoir si une telle phase de latence est pertinente ou non et quelle est sa durée.

L’article #6 poursuivra cette discussion, en tenant compte de facteurs de complexification des modèles en lien avec leur réalisme et leur utilisation pour la gestion de la santé.